Posts Tagged ‘สมการวงรี’

วงรี

Friday, January 2nd, 2009

ตอนนี้มีนักศึกษาคนหนึ่ง ทำงานที่เกี่ยวข้องกับสมการวงรีอยู่ คุยกันไปคุยกันมาปรากฏว่า ลืมกันทั้งอาจารย์ทั้งลูกศิษย์แล้วว่าสมการวงรีเขียนยังไง ค้นไปค้นมาก็เจอว่า สมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) มีรัศมีทั้งสองแกนเป็น a กับ b จะเขียนอยู่ในรูป

\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1

ทีนี้ถ้าจะหาสมการของวงรี ที่ไม่ได้อยู่ที่ (0,0) ล่ะ สมมติว่าเรามีวงรีรูปหนึ่ง มีศูนย์กลางอยู่ที่ (h,k) เราก็จะคิดง่ายๆ ว่า กลุ่มจุดที่ประกอบกันเป็นรูปวงรี ที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ (h,k) นั้น ทุกจุด (x,y) จะมีความสัมพันธ์ตามสมการพื้นฐานนั่นแหละ แต่เราต้องย้ายรูปทั้งรูปมาอยู่ที่ (0,0) ก่อน วิธีย้ายก็ง่ายๆ แค่หักค่า h กับ k ออกจาก x กับ y ที่มีอยู่ซะ รูปวงรีทั้งรูปก็จะเลื่อนมาอยู่ที่ (0,0) จึงได้สมการเป็น

\displaystyle\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1

ถ้าเป็นวงรีแบบที่ถูกหมุนไปด้วยมุม θ เราก็จะทำแบบเดียวกับการเปลี่ยนจุดศูนย์กลาง คือ หมุน x กับ y กลับไปที่เดิมด้วย

x^\prime=x\cos \theta + y\sin \theta

y^\prime=-x\sin \theta + y\cos \theta

จึงได้สมการเป็น

\displaystyle\frac{(x\cos \theta+y\sin \theta)^2}{a^2} + \frac{(-x\sin \theta + y\cos \theta)^2}{b^2} = 1

แล้วถ้าหมุนด้วย เลื่อนจุดศูนย์กลางด้วยล่ะ? ก็ไม่ยาก (จริงๆ ตัวเองก็งงอยู่นาน) ก็ย้ายมากลับมาที่จุด (0,0) ก่อน แล้วค่อยหมุน ได้สมการเป็น

\displaystyle\frac{((x-h)\cos \theta+(y-k)\sin \theta)^2}{a^2} + \frac{(-(x-h)\sin \theta + (y-k)\cos \theta)^2}{b^2} = 1

เป็นอันว่าเรียบร้อย จริงๆ ที่เขียนเรื่องนี้ ก็เพราะอยากลองใช้ Plugin Easy LaTeX ของ WordPress

อ้างอิง: Ellipse, Rotation of Axes

Tags: , , ,
Posted in latex, research | 1 Comment »